Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-（2m+n）x+m+n=0①．
（1）求證：方程①有兩個實數根；
（2）求證：方程①有一個實數根為1；
（3）設方程①的另一個根為x₁，若m+n=2，m為正整數且方程①有兩個不相等的整數根時，確定關于x的二次函數y=mx²-（2m+n）x+m+n的解析式；
（4）在（3）的條件下，把Rt△ABC放在坐標系內，其中∠CAB=90°，點A、B的坐標分別為（1，0）、（4，0），BC=5，將△ABC沿x軸向右平移，當點C落在拋物線上時，求△ABC平移的距離．

Answer 1

分析：（1）首先表示出方程①的根的判別式，若方程有兩個實數根，那么判別式應大于等于0，結合非負數的性質進行證明即可．
（2）可利用十字相乘法將方程左邊進行因式分解，即可得到方程必有一根為1．
（3）由（2）可得x₁的表達式，即x₁=

m+n

m

，若m+n=2，且x₁為整數，那么m可取1或2，然后結合（1）（2）的結論將不合題意的m值舍去，即可確定m的值，進而可得拋物線的解析式．
（4）首先根據已知條件確定出點C的坐標；然后設出平移后的點C坐標，由于此時C點位于拋物線的圖象上，可將其代入拋物線的解析式中，即可確定出平移后的點C坐標，進而可得平移的距離．

解答：證明：（1）∵a=m，b=-（2m+n），c=m+n
∴△=b²-4ac=[-（2m+n）]²-4m（m+n）
=4m²+4mn+n²-4m²-4mn
=n²（1分）
∵無論n取何值時，都有n²≥0
∴△≥0
∴方程①有兩個實數根．（2分）

（2）∵原方程可化為：（mx-m-1）（x-1）=0，（3分）
∴x1=

m+n

m

，x2=1；
∴方程①有一個實數根為1．（4分）

（3）由題意可知：方程①的另一個根為x1=

m+n

m

，
∵m+n=2，m為正整數且方程①有兩個不相等的整數根，
∴m=1，
∴二次函數的解析式：y=x²-3x+2．（5分）

（4）由題意可知：AB=3，
由勾股定理得：AC=4
∴C點的坐標為（1，4）
當△ABC沿x軸向右平移，此時設C點的坐標為（a，4）（6分）
∵C在拋物線上，
∴

4=a2-3a+2 a2-3a-2=0

，
∴a=

3± 17

2

，舍去負值，
∴a=

3+ 17

2

；
∴△ABC平移的距離：

3+ 17

2

-1=

1+ 17

2

．（7分）

點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系、根的判別式、二次函數解析式的確定以及函數圖象上點的坐標特征，難度適中．