Question

【題目】如圖（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB，AC上，那么我們稱這樣的正方形為“三角形內接正方形”小波同學按數學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖（2），任意畫△ABC，在AB上任取一點P′，畫正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC邊上，N′在△ABC內，連結BN′并延長交AC于點N，畫NM⊥BC于點M，NP⊥NM交AB于點P，PQ⊥BC于點Q，得到四邊形PQMN，小波把線段BN稱為“波利亞線”，請幫助小波解決下列問題：

（1）四邊形PQMN是否是△ABC的內接正方形，請證明你的結論；

（2）若△ABC為等邊三角形，邊長BC＝6，求△ABC內接正方形的邊長；

（3）如圖（3），若在“波利亞線”BN上截取NE＝NM，連結EQ，EM．當時，猜想∠QEM的度數，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形PQMN是△ABC的內接正方形，證明詳見解析；（2）12﹣18；（3）∠QEM＝90°，理由詳見解析

【解析】

（1）首先證明四邊形PQMN是矩形，再證明MN＝PN即可；

（2）根據平行線分線段成比例定理列比例式可得結論；

（3）證明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解決問題．

解：（1）四邊形是的內接正方形，理由是：

如圖2中，由畫圖可知，

四邊形是矩形，，

△，

同理可得：，

，

，

四邊形是正方形，即四邊形是的內接正方形；

（2）如圖1，過作于，交于，設正方形的邊長為，

為等邊三角形，邊長，

高線，

四邊形是正方形，

，

，

即，解得：，

答：內接正方形的邊長是；

（3）如圖3中，結論：．

理由：設，，則，，，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

．