Question

【題目】實驗室里，水平桌面上有甲、乙兩個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1∶2，用一個管子在甲、乙兩個容器的15厘米高度處連通（即管子底端離容器底15厘米）．已知只有乙容器中有水，水位高2厘米，如圖所示．現同時向甲、乙兩個容器注水，平均每分鐘注入乙容器的水量是注入甲容器水量的k倍．開始注水1分鐘，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米．其中a，k均為正整數，當甲、乙兩個容器的水位都到達連通管子的位置時，停止注水．甲容器的水位有2次比乙容器的水位高1厘米，設注水時間為t分鐘．

（1）求k的值（用含a的代數式表示）．

（2）當甲容器的水位第一次比乙容器的水位高1厘米時，求t的值．

（3）當甲容器的水位第二次比乙容器的水位高1厘米時，求a，k，t的值．

Answer 1

【答案】（1）（或）；

（2）；

（3）

【解析】（1）根據“開始注水1分鐘，甲容器的水位上升a厘米，且比乙容器的水位低1厘米”，即可得出a、k之間的關系式，變形后即可得出結論；

（2）根據兩容器水位間的關系列出a、k、t的代數式，將（1）的結論代入其內整理后即可得出結論；

（3）由（1）中的k=4﹣結合a、k均為正整數即可得出a、k的值，經檢驗后可得出a、k值合適，再將乙容器內水位上升的高度轉換成甲容器內水位上升的高度結合水位上升的總高度=單位時間水位上升的高度×注水時間即可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．

解：（1）由題意，得，∴（或）

（2）由題意，得，把代入，

得，化簡，得．

（3）∵，a，k均為正整數，∴，或

又∵， ，∴，或符合題意．

①時， ，解得， ．

∴．

②當時， ，解得， ．

∴．

“點睛”本題考查了一元一次方程中的應用以及列代數式，根據兩容器半徑及注水量的關系列出代數式是解題的關鍵.