Question

【題目】如圖，數軸上A，B兩點對應的有理數分別為xA＝﹣5和xB＝6，動點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿數軸在A，B之間往返運動，同時動點Q從點B出發，以每秒2個單位的速度沿數軸在B，A之間往返運動．設運動時間為t秒．

(1)當t＝2時，點P對應的有理數xP＝______，PQ＝______；

(2)當0＜t≤11時，若原點O恰好是線段PQ的中點，求t的值；

(3)我們把數軸上的整數對應的點稱為“整點”，當P，Q兩點第一次在整點處重合時，直接寫出此整點對應的數．

Answer 1

【答案】(1)﹣3，5；(2)t＝1或7；(3)6.

【解析】

（1）先求出P,Q對應的數，再求PQ的值；（2）結合數軸①當0＜t＜5.5時，點Q運動還未到點A，有AP＝t，BQ＝2t．此時OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．②當5.5＜t≤11時，點P在數軸上原點右側，點Q已經沿射線BA方向運動到點A后折返，要使原點O恰好是線段PQ的中點，點Q必須位于原點O左側；列出相應方程即可；（3）分兩種情況求出t: ①當0＜t＜5.5時，點Q運動還未到點A，當P，Q兩點重合時，P與Q相遇；②當5.5＜t≤11時，點P在數軸上原點右側，點Q已經沿射線BA方向運動到點A后折返，當P，Q兩點重合時，點Q追上點P，AQ＝AP.

解：(1)當t＝2時，點P對應的有理數xP＝﹣5+1×2＝﹣3，

點Q對應的有理數xQ＝6﹣2×2＝2，

∴PQ＝2﹣(﹣3)＝5．

故答案為﹣3，5；

(2)∵xA＝﹣5，xB＝6，

∴OA＝5，OB＝6．

由題意可知，當0＜t≤11時，點P運動的最遠路徑為數軸上從點A到點B，點Q運動的最遠路徑為數軸上從點B到點A并且折返回到點B．

對于點P，因為它的運動速度vP＝1，點P從點A運動到點O需要5秒，運動到點B需要11秒．

對于點Q，因為它的運動速度vQ＝2，點Q從點B運動到點O需要3秒，運動到點A需要5.5秒，返回到點B需要11秒．

要使原點O恰好是線段PQ的中點，需要P，Q兩點分別在原點O的兩側，且OP＝OQ，此時t≠5.5．

①當0＜t＜5.5時，點Q運動還未到點A，有AP＝t，BQ＝2t．

此時OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．

∵原點O恰好是線段PQ的中點，

∴OP＝OQ，

∴|5﹣t|＝|6﹣2t|，

解得t＝1或t＝．

檢驗：當t＝時，P，Q兩點重合，且都在原點O左側，不合題意舍去；t＝1符合題意．

∴t＝1；

②當5.5＜t≤11時，點P在數軸上原點右側，點Q已經沿射線BA方向運動到點A后折返，要使原點O恰好是線段PQ的中點，點Q必須位于原點O左側，此時P，Q兩點的大致位置如下圖所示．

此時，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2(t﹣5.5)＝16﹣2t．

∵原點O恰好是線段PQ的中點，

∴OP＝OQ，

∴t﹣5＝16﹣2t，

解得t＝7．

檢驗：當t＝7時符合題意．

∴t＝7．

綜上可知，t＝1或7；

(3)①當0＜t＜5.5時，點Q運動還未到點A，當P，Q兩點重合時，P與Q相遇，此時需要的時間為：秒，

相遇點對應的數為﹣5+＝﹣，不是整點，不合題意舍去；

②當5.5＜t≤11時，點P在數軸上原點右側，點Q已經沿射線BA方向運動到點A后折返，當P，Q兩點重合時，點Q追上點P，AQ＝AP，

2(t﹣5.5)＝t，解得t＝11，

追擊點對應的數為﹣5+11＝6．

故當P，Q兩點第一次在整點處重合時，此整點對應的數為6．