Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo).

（2）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為.該拋物線在直線上方的部分與線段組成一個(gè)新函數(shù)的圖象.請(qǐng)結(jié)合圖象回答：若新函數(shù)的最小值大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（-1，0）；（2）-1＜k＜0

【解析】

（1）對(duì)于拋物線解析式，令y=0得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，根據(jù)A在B的左側(cè)且m大于0，求A的坐標(biāo)即可；
（2）由（1）的結(jié)果表示出B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，表示出C坐標(biāo)，進(jìn)而表示出AB與OC，由三角形ABC面積為15，利用三角形面積公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出拋物線解析式，確定出C坐標(biāo)，設(shè)直線l解析式為y=kx+b，把C坐標(biāo)代入求出b的值，拋物線解析式配方后，經(jīng)判斷得到當(dāng)點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，確定出拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-8），把（3，-8）代入一次函數(shù)解析式求出k的值，由圖象確定出滿足題意k的范圍即可．

解：（1）∵拋物線y=x2-（m-1）x-m（m＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，即x2-（m-1）x-m=0，
解得：x1=-1，x2=m，
又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，且m＞0，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）由（1）可知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，0），
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-m），
∵m＞0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S△ABC=15，
∴m（m+1）=15，即m2+m-30=0，
解得：m=-6或m=5，
∵m＞0，
∴m=5；
則拋物線的表達(dá)式為y=x2-4x-5，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-5），
∵直線l：y=kx+b（k＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴b=-5，
∴直線l的解析式為y=kx-5（k＜0），
∵y=x2-4x-5=（x-2）2-9，
∴當(dāng)點(diǎn)D在拋物線頂點(diǎn)處或?qū)ΨQ軸左側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值為-9，不符合題意；
當(dāng)點(diǎn)D在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，新函數(shù)的最小值有可能大于-8，
令y=-8，即x2-4x-5=-8，
解得：x1=1（不合題意，舍去），x2=3，
∴拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-8），
當(dāng)直線y=kx-5（k＜0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-8）時(shí)，可求得k=-1，
由圖象可知，當(dāng)-1＜k＜0時(shí)新函數(shù)的最小值大于-8．