Question

（本題滿分10分）某校學生參加社會公益活動，準備購進一批許愿瓶進行銷售，并將所得利潤捐給慈善機構．根據市場調查，這種許愿瓶一段時間內的銷售量y（個）與銷售單價x（元/個）之間的對應關系如表所示：

銷售單價x（單位：元/個）	10	12	14	16
銷售量y(單位：個)	300	240	180	120

（1）試判斷y與x之間的函數關系，并求出函數關系式；

（2）若許愿瓶的進價為6元/個，按照上述市場調查的銷售規律，求銷售利潤w（元）與銷售單價x（元/個）之間的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，若許愿瓶的進貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定這種許愿瓶的銷售單價，并求出此時的最大利潤．

Answer 1

（1）y=-30+600；（2）W=；（3）x=15時，．

【解析】

試題分析：（1）應用待定系數法求得一次函數解析式，并驗證另兩個點也在函數圖象上；

（2）根據總利潤=單個利潤×銷售量列出W與x的函數關系式；

（3）根據進貨的成本不超過900元，確定x的取值范圍，結合（2）中得到的函數關系式，根據二次函數的性質確定W的最大值，以及此時對應的x值．

試題解析：【解析】
（1）y是x的一次函數，設y=kx+b，圖象過點（10，300），（12，240），所以，解得：，所以y=-30+600，當x=14時，y=180；當x=16時，y=120，即點（14，180），（16，120）均在函數圖象上，所以y與x之間的函數關系式為y=-30+600；

（2）W==，即W與x之間的函數關系式為W=；

（3）由題意得≤900，解得x≥15，W=的圖象對稱軸為x==13，因為a=-30＜0，所以拋物線開口向下，當x≥15時，W所x的增大而減小，所以當x=15時，，即以15元/個的價格銷售這批許愿瓶可獲得最大利潤1350元．

考點：待定系數法求解析式；函數應用題；求二次函數的最值．

考點分析： 考點1：二次函數 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數，a≠0），那么y叫做x 的二次函數。
①所謂二次函數就是說自變量最高次數是2;
②二次函數（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數，自變量x 的取值范圍是全體實數，b和c可以是任意實數，a是不等于0的實數，因為a=0時，變為y=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數，若b=0，則y=c是一個常數函數。
③二次函數（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯系，如果將變量y換成一個常數，那么這個二次函數就是一個一元二次函數。 二次函數的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函數可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數的一般形式的結構特征：
①函數的關系式是整式；
②自變量的最高次數是2；
③二次項系數不等于零。 二次函數的判定：
二次函數的一般形式中等號右邊是關于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數；
判斷一個函數是不是二次函數，在關系式是整式的前提下，如果把關系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數就是二次函數，否則就不是。 試題屬性

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