Question

如圖所示．某校計(jì)劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進(jìn)行生態(tài)環(huán)境改造．已知△ABC的邊BC長(zhǎng)120米，高AD長(zhǎng)80米．學(xué)校計(jì)劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其余兩個(gè)頂點(diǎn)H、G分別在邊AB、AC上．現(xiàn)計(jì)劃在△AHG上種草，每平方米投資6元；在△BHE、△FCG上都種花，每平方米投資10元；在矩形EFGH上興建愛(ài)心魚(yú)池，每平方米投資4元．

（1）當(dāng)FG長(zhǎng)為多少米時(shí)，種草的面積與種花的面積相等？

（2）當(dāng)矩形EFGH的邊FG為多少米時(shí)，△ABC空地改造總投資最小，最小值為多少？

 

Answer 1

【答案】

（1）40；（2）FG=60時(shí)，△ABC空地改造總投資最小，最小值為26400．

【解析】

試題分析：（1）可利用相似分別表示出相應(yīng)的三角形的底與高，讓面積相等即可；

（2）把相應(yīng)的總投資用含x的代數(shù)式表示出后，求出二次函數(shù)的最值即可．

試題解析：（1）設(shè)FG=x米，則AK=（80﹣x）米．

由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：，∴HG=，BE+FC=120﹣（）=，∴，解得．∴當(dāng)FG的長(zhǎng)為40米時(shí)，種草的面積和種花的面積相等．

（2）設(shè)改造后的總投資為W元．

則W=

=，

∵二次項(xiàng)系數(shù)6＞0，0＜x≤80，∴當(dāng)x=20時(shí)，W_最小=26400．

答：當(dāng)矩形EFGH的邊FG長(zhǎng)為20米時(shí)，空地改造的總投資最小，最小值為26400元．

考點(diǎn)：1．二次函數(shù)的應(yīng)用；2．矩形的性質(zhì)；3．相似三角形的應(yīng)用．