Question

如圖所示，某校計劃將一塊形狀為銳角三角形ABC的空地進行生態環境改造．已知△ABC的邊BC長120米，高AD長80米．學校計劃將它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分（如圖）．其中矩形EFGH的一邊EF在邊BC上．其中兩個頂點H、G分別在邊AB、AC上．現計劃在△AHG上種草，在△BHE、△GFC上都種花，在矩形EFGH上興建噴泉．當FG長為多少米時，噴泉面積恰好等于銳角三角形ABC的一半，并求出此時種草的面積和種花的面積各是多少平方米？

Answer 1

分析：易得△AHG∽△ABC，利用相似三角形對應邊的比等于對應高的比可得HG的代數式，進而根據矩形HEFG是△ABC面積的一半可得FG的長，進而求得AK，HG的長，利用直角三角形的面積公式可得△AHG的面積，進而讓△ABC面積的一半減去△AHG的面積即為種花的面積．

解答：解：設FG=x米，則AK=（80-x）米．
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴

HG

BC

=

AK

AD

，

HG

120

=

80-x

80

解得HG=-1.5x+120，
∵HG×FG=

1

2

S_△ABC，
∴（-1.5x+120）x=

1

2

×

1

2

×120×80，
解得x=40，
∴AK=40，HG=-1.5x+120=60，
∴S_△AHG=

1

2

×40×60=1200平方米，
∴種花的面積

1

2

×

1

2

×120×80-1200=1200平方米．
答：當FG為40米時，噴泉面積恰好等于銳角三角形ABC的一半，種花和種草的面積均為1200平方米．

點評：本題考查了相似三角形的應用；用到的知識點為：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊相交，截得的兩三角形相似；相似三角形的對應邊等于對應高的比．