Question

【題目】如圖，點B在線段AF上，分別以AB、BF為邊在線段AF的同側作正方形ABCD和正方形BFGE，連接CF和DE，CF交EG于H．
（1）若E是BC的中點，求證：DE=CF；
（2）若∠CDE=30°，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E是BC的中點，

∴BE=CE，

在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，

∴BF=CE，

在△BCF和△CDE中， ，

∴△BCF≌△CDE（SAS），

∴DE=CF

（2）解：設CE=x，∵∠CDE=30°，

∴tan∠CDE= = ，

∴CD= x，

∵正方形ABCD的邊BC=CD，

∴BE=BC﹣CE= x﹣x，

∵正方形BFGE的邊長BF=BE，

∴tan∠BCF= = = ，

∵正方形BGFE對邊BC∥GF，

∴∠BCF=∠GFH，

∵tan∠GFH= ，

∴ =

【解析】（1）根據線段中點的定義可得BE=CE，再根據正方形的四條邊都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=CE，再利用“邊角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=CF；（2）設CE=x，根據∠CDE的正切值表示出CD，然后求出BE，從而得到∠BCF的正切值，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根據等角的正切值相等解答即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解正方形的性質(正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形)．