Question

【題目】如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x﹣4）（a為常數，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經過點B的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點，連接PD、PB，求△PBD面積的最大值；
（3）設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=a（x+2）（x﹣4），令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直線y=﹣ x+b經過點B（4，0），

∴﹣ ×4+b=0，解得b= ，

∴直線BD解析式為：y=﹣ x+ ，

當x=﹣5時，y=3 ，

∴D（﹣5，3 ），

∵點D（﹣5，3 ）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3 ，

∴a= ．

∴拋物線的函數表達式為：y= x2﹣ x﹣

（2）

解：設P（m， m2﹣ m﹣ ）

∴S△BPD= ×9[（﹣ m+ ）﹣（ m2﹣ m﹣ ）]

=﹣ m2﹣ m+10

=﹣ （m+ ）2+

∴△BPD面積的最大值為

（3）

解：如圖，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點F，

∵由（2）得，DN=3 ，BN=9，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FG=DF×sin30°= FD，

∴當且僅當AH⊥DK時，AF+FH最小，

點M在整個運動中用時為：t=AF+ FD=AF+FH，

∵lBD：y=﹣ x+ ，

∴Fx=Ax=﹣2，F（﹣2，2 ）

∴當F坐標為（﹣2，2 ）時，用時最少

【解析】（1）首先求出點A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐標，代入拋物線解析式，求得a的值；（2）用三角形的面積公式建立函數關系式，再確定出最大值；（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+ DF．如圖，作輔助線，將AF+ DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．