Question

如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的點，且AP=AC．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）若AC=3，求PD的長．

Answer 1

（1）證明：連接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
∵OA=OC，
∴∠ACP=∠CAO=30°，
∴∠AOP=60°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=90°，
即OA⊥AP，
∵點O在⊙O上，
∴AP是⊙O的切線．

（2）連接AD，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CAD=90°，
∴AD=AC?tan30°=

3

，CD=2AD=2

3

，
∴DO=AO=

1

2

CD=

3

，
在Rt△PAO中，由勾股定理得：PA²+AO²=PO²，
∴3²+（

3

）²=（PD+

3

）²，
∵PD的值為正數，
∴PD=

3

．