Question

【題目】已知AB是圓O的切線，切點為B，直線AO交圓O于C、D兩點，CD＝2，∠DAB＝30°，動點P在直線AB上運動，PC交圓O于另一點Q.

(1)當點P運動到Q、C兩點重合時(如圖①)，求AP的長；

(2)點P運動過程中，有幾個位置(幾種情況)使△CQD的面積為(直接寫出答案)?

(3)當使△CQD的面積為，且Q位于以CD為直徑的半圓上，CQ＞QD時(如圖②)，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）AP＝；（2）有4個位置；（3）AP＝.

【解析】試題分析：本小問是利用切線的性質，得到∠ACP＝90°，CD＝2，得到半徑的長度：OD＝OC＝OB，從而利用解直角三角形的方法來解得AP的長度；利用三角形的面積公式，知底和積可求高，然后用平行線去截圓，即可以得到解；利用S△CQD＝，求出CD上的高QN的長度，過點PM⊥AD于點M，然后利用相似△QCN∽△DQN求出CN的長度，再次利用相似△PMC∽△QNC，從而得到MC與MP的關系，由已知易知AM＝，由AC＝1，從而可以解出MP，從而求出AP的長度.

試題解析：(1)、∵AB是圓O的切線 ∴∠OBA＝90°

∵ABC中，CD＝2，∠DAB=30° ∴OB＝1 ∴OB＝OC＝AC＝1

∵當點P，運動到Q、C兩點重合時 ∴PC為圓O的切線 ∴∠PCA＝90°

∵∠DAB=30°，AC＝1 ∴AP＝

(2)、由于CD的長度2，而S△CQD＝，故CD上的高的長度為：，從而如圖，我們可得到答案：

(3)、過點Q作QN⊥AD于點N， 過點P作PM⊥AD于點M ∵S△CQD＝

∴QN×CD＝∴CD＝∵CD是圓O的直徑 ∴∠CQD＝90°

易證△QCN∽△DQN ∴∴

設CN＝X，則DN＝2－x ∴解得：

∵CQ＞QD ∴CN＝∴

易證：PMC∽△QNC 易得：∴

在AMP中易得：∵AM＋CM＝AC＝1

∴＋＝1 ∴MP＝∴AP＝2MP＝