Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，點E是AH上一點，延長AH至點F，使FH=EH.

(1)求證：四邊形EBFC是菱形；

(2)如果∠BAC=∠ECF，求證：AC⊥CF.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意可證得△BCE為等腰三角形，由AH⊥CB，則BH=HC，從而得出四邊形EBFC是菱形；

（2）由（1）得∠2=∠3，再根據∠BAC=∠ECF，得∠4=∠3，由AH⊥CB，得∠3+∠1+∠2=90°，從而得出AC⊥CF．

試題解析：證明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，

∴BH=HC．

∵FH=EH，

∴四邊形EBFC是平行四邊形．

又∵AH⊥CB，

∴四邊形EBFC是菱形．

（2）證明：如圖，

∵四邊形EBFC是菱形．

∴∠2＝∠3＝∠ECF．

∵AB=AC，AH⊥CB，

∴∠4＝∠BAC．

∵∠BAC=∠ECF

∴∠4=∠3．

∵AH⊥CB

∴∠4+∠1+∠2=90°．

∴∠3+∠1+∠2=90°．

即：AC⊥CF．