Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，直線y=kx+b與x軸交于點A（6，0），與y軸交于點B，與直線y=2x交于點C（a，4）．

（1）求點C的坐標及直線AB的表達式；

（2）如圖2，在（1）的條件下，過點E作直線l⊥x軸于點E，交直線y=2x于點F，交直線y=kx+b于點G，若點E的坐標是（4，0）．

①求△CGF的面積；

②直線l上是否存在點P，使OP+BP的值最小？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若（2）中的點E是x軸上的一個動點，點E的橫坐標為m（m＞0），當點E在x軸上運動時，探究下列問題：

當m取何值時，直線l上存在點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形與△AOC全等？請直接寫出相應的m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+6；（2）①6；②P（4，3）；（3）A題：m的值為2或6或8．B題：m的值為3或6或或．

【解析】

（1）將C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，即可得到直線AB的解析式；

（2）①設點F（4，y1），G（4，y2），分別代入y=2x和y=-x+6，可得FE=8，GE=2，FG=6，過點C作CH⊥FG于H，依據S△FCG=FG×CH，進行計算即可；②設點O關于直線l的對稱點為D（8，0），設直線BD的解析式為y=mx+n，將B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得直線BD的解析式為y=-x+6，令x=4，則y=3，即可得出P（4，3）；

（3）選A題時，需要分數軸情況進行討論，畫出圖形，依據全等三角形的對應頂點的位置，即可得到m的值；選B題時，依據△BFG是等腰三角形分四種情況進行討論，進而得出m的值．

（1）將點C（a，4）代入y=2x，可得a=2，

∴C（2，4），

將C（2，4）和A（6，0）代入y=kx+b，可得

，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6；

（2）①如圖1，∵l⊥x軸，點E，F，G都在直線l上，且點E的坐標為（4，0），

∴點F，G的橫坐標均為4，

設點F（4，y1），G（4，y2），分別代入y=2x和y=﹣x+6，可得

y1=8，y2=2，

∴F（4，8），G（4，2），

∴FE=8，GE=2，FG=6，

如圖2，過點C作CH⊥FG于H，

∵C（2，4），

∴CH=4﹣2=2，

∴S△FCG=FG×CH=×6×2=6；

②存在點P（4，3），使得BP+OP的值最小．

理由：設點O關于直線l的對稱點為D（8，0），

設直線BD的解析式為y=mx+n，

將B（0，6），D（8，0）代入y=mx+n，可得

，解得，

∴直線BD的解析式為y=﹣x+6，

點P在直線l：x=4上，令x=4，則y=3，

∴P（4，3）；

（3）A題：m的值為2或6或8．

理由：分三種情況討論：

①當△OAC≌△QCA，點Q在第四象限時，∠ECA=∠EAC，

∴AE=CE=4，OE=6﹣4=2，

∴m=2；

②當△ACO≌△ACQ，Q在第一象限時，OE=AO=6，

∴m=6；

③當△ACO≌△CAQ，點Q在第四象限時，四邊形AOCQ是平行四邊形，CQ=AO=6，AE=2，

∴OE=8，

∴m=8；

B題：m的值為3或6或或．

理由：分四種情況討論：

①如圖，當BG=GF時， m=﹣m+6﹣2m，

解得m=；

②如圖，當BF=GF時，m=2m﹣（﹣m+6），

解得m=3；

③如圖，當GB=GF時，m=2m﹣（﹣m+6），

解得m=；

④如圖，當BG=BF時，FG=BG，即2m﹣（﹣m+6）=×m，

解得m=6．