Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AB、BC的中點，連接AF、DE相交于點G，連接CG．

（1）求證：AF⊥DE；

（2）求證：CG=CD．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

試題（1）正方形ABCD中，AB=BC，BF=AE，且∠ABF=∠DAE=90°，即可證明△ABF≌△DAE，即可得∠DGA=90°，結(jié)論成立．

（2）延長AF交DC延長線于M，證明△ABF≌△MCF，說明△DGM是直角三角形，命題得證．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為正方形

∴AB=BC=CD=AD，∠ABF=∠DAE=90°，

又∵E，F分別是邊AB．BC的中點

∴AE=AB．BF=BC

∴AE=BF．

在△ABF與△DAE中，

，

∴△DAE≌△ABF（SAS）．

∴∠ADE=∠BAF，

∵∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ADG+∠DAG=90°，

∴∠DGA=90°，即AF⊥DE．

（2）證明：延長AF交DC延長線于M，

∵F為BC中點，

∴CF=FB

又∵DM∥AB，

∴∠M=∠FAB．

在△ABF與△MCF中，

∴△ABF≌△MCF（AAS），

∴AB=CM．

∴AB=CD=CM，

∵△DGM是直角三角形，

∴GC=DM＝DC．