Question

【題目】如圖，A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是劣弧的中點．

（1）試判斷四邊形OACB的形狀，并說明理由；

（2）延長OA至P，使得AP=OA，連接PC，若PC為，求BC長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OACB是菱形，見解析；（2）3

【解析】

（1）首先連接OC，由A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是劣弧的中點，易證得△AOC與△BOC都是等邊三角形，則可得AC=OA=OC=OB=BC，繼而證得四邊形OACB是菱形．
（2）由AP=OA，易證得△OPC是直角三角形，然后利用勾股定理求得答案．

解：（1）四邊形OACB是菱形．

理由：連接OC，

∵∠AOB=120°，C是劣弧的中點，

∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，

∵OA=OC=OB，

∴△AOC與△BOC都是等邊三角形，

∴AC=OA=OC=OB=BC，

∴四邊形OACB是菱形．

（2）∵AP=OA，AC=OA，

∴AP=AC，

∴∠P=∠ACP=∠OAC=30°，

∴∠OCP=90°，

設圓O的半徑為x，則OC=x，OP=2x

∴，

∴x=3

∵四邊形OACB是菱形．

∴BC=3