Question

（2013年四川綿陽12分）如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，﹣2），交x軸于A、B兩點，其中A（﹣1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．

（1）求二次函數的解析式和B的坐標；
（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點坐標為C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2。
∵y=ax²+bx+c過點A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2。
∴拋物線的解析式為y=2x²﹣2。
當y=0時，2x²﹣2=0，解得x=±1。
∴點B的坐標為（1，0）。
（2）設P（m，n），
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況：
①若△OCB∽△DBP，則，即，解得。
由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，
∴此時點P坐標為（m，）或（m，）。
②若△OCB∽△DPB，則，即，解得n=2m﹣2。
由對稱性可知，在x軸上方和下方均有一點滿足條件，
∴此時點P坐標為（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。
（3）假設在拋物線上存在第一象限內的點Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形．
如圖，過點Q作QE⊥l于點E，

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE。
在△DBP與△EPQ中，∵，
∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ。
分兩種情況：
①當P（m，）時，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），
∴，解得或（均不合題意舍去）。
②當P（m，2m﹣2）時，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），
∴，解得或（均不合題意舍去）。
綜上所述，不存在滿足條件的點Q。

（1）由于拋物線的頂點C的坐標為（0，﹣2），所以拋物線的對稱軸為y軸，且與y軸交點的縱坐標為﹣2，即b=0，c=﹣2，再將A（﹣1，0）代入y=ax²+bx+c，求出a的值，由此確定該拋物線的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到點B的坐標。
（2）設P點坐標為（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，則D與O對應，所以當以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似時，分兩種情況討論：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根據相似三角形對應邊成比例，得出n與m的關系式，進而可得到點P的坐標。
（3）假設在拋物線上存在第一象限內的點Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形，過點Q作QE⊥l于點E．利用AAS易證△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分兩種情況討論：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）。都根據BD=PE，DP=EQ列出方程組，求出x與m的值，再結合條件x＞0且m＞1即可判斷不存在第一象限內的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形。