Question

【題目】如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AE＝CF.

(1)求證：△BOE≌△DOF；

(2)連接DE，BF，若BD⊥EF，試探究四邊形EBFD的形狀，并對結論給予證明.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形EBFD為菱形.

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性質可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；

（2）根據BO=DO，FO=EO可得四邊形BEDF是平行四邊形，再根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得四邊形EBDF為菱形．

(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BO＝DO，AO＝CO.

∵AE＝CF，

∴AO－AE＝CO－CF，

即EO＝FO.

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF(SAS).

(2)四邊形EBFD為菱形，

證明：∵BO＝DO，FO＝EO，

∴四邊形BEDF是平行四邊形.

∵BD⊥EF，

∴四邊形EBFD為菱形.