Question

【題目】如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，點E、F分別是AB、BC邊的中點，連接AF、CE交于點M，連接BM并延長交CD于點N，連接DE交AF于點P，則結論：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE= ：3；⑤S△EPM= S梯形ABCD ， 正確的個數有（ ）

A.5個
B.4個
C.3個
D.2個

Answer 1

【答案】B
【解析】：連接DF，AC，EF，如圖所示：

∵E、F分別為AB、BC的中點，且AB=BC，

∴AE=EB=BF=FC，

在△ABF和△CBE中，

，

∴△ABF≌△CBE（SAS），

∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，

在△AME和△CMF中，

，

∴△AME≌△CMF（AAS），

∴EM=FM，

在△BEM和△BFM中，

，

∴△BEM≌△BFM（SSS），

∴∠ABN=∠CBN，選項①正確；

∵AE=AD，∠EAD=90°，

∴△AED為等腰直角三角形，

∴∠AED=45°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABN=∠CBN=45°，

∴∠AED=∠ABN=45°，

∴ED∥BN，選項②正確；

∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，

∴AD=FC，又AD∥FC，

∴四邊形AFCD為平行四邊形，

∴AF=DC，又AF=CE，

∴DC=EC，

則△CED為等腰三角形，選項③正確；

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF∥AC，且EF= AC，

∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，

∴△EFM∽△CAM，

∴EM：MC=EF：AC=1：2，

設EM=x，則有MC=2x，EC=EM+MC=3x，

設EB=y，則有BC=2y，

在Rt△EBC中，根據勾股定理得：EC= = y，

∴3x= y，即x：y= ：3，

∴EM：BE= ：3，選項④正確；

∵E為AB的中點，EP∥BM，

∴P為AM的中點，

∴S△AEP=S△EPM= S△AEM，

又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，

∴S△AEM=S△BEM=S△BFM= S△ABF，

∵四邊形ABFD為矩形，

∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，

∴S△ABF=S△ADF=S△DFC= S梯形ABCD，

∴S△EPM= S梯形ABCD，選項⑤錯誤．

則正確的個數有4個．

故答案為：B.

此題考查了直角梯形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，以及三角形的中位線定理，由題意根據性質與定理分別解答即可得到結論．