Question

【題目】如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（5，0），點E在OB上，∠AEO=45°，點P從點Q（﹣3，0）出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，運動時間為t （t≥0）秒．

（1）求點E的坐標；

（2）當∠PAE=15°時，求t的值；

（3）以點P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（3，0）；

（2）t=（3+）s或（3+3）s；

（3）t=0或4或4.6秒時，⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切．

【解析】

試題分析：（1）在Rt△AOE中求出OE，即可得出點E的坐標；

（2）如圖1所示，當∠PAE=15°時，可得∠APO=60°，從而可求出PO=，求出QP，即可得出t的值；

（3）以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，只有一種情況，也就是⊙P與AE邊相切，且切點為點A，如圖2所示，求出PE，得出QP，繼而可得t的值．

試題解析：（1）在Rt△AOE中，OA=3，∠AEO=45°，

∴OE=AO=3，

∴點E的坐標為（3，0）；

（2）如圖1所示：

∵∠PAE=15°，∠AEO=45°，

∴∠APO=∠PAE+∠AEO=60°，

∴OP=AOtan30°=，

∴QP=3+，

∴t=3+（秒）；

如圖2，∵∠AEO=45°，∠PAE=15°，

∴∠APE=30°，

∵AO=3，

∴OP=3÷=3，

∴t=QP=OQ+OP=（3+3）s；

∴t=（3+）s或（3+3）s．

（3）∵PA是⊙P的半徑，且⊙P與AE相切，

∴點A為切點，如圖3所示：

∵AO=3，∠AEO=45°，

∴AE=3

∴PE=

∴QP=QE﹣PE=6﹣6=0，

∴當⊙P與四邊形AEBC的邊AE相切時，Q，P重合，t的值為0．

∵PA是⊙P的半徑，且⊙P與AE相切，

∴點A為切點，如圖4所示：

當點P與O重合時，⊙P與AC相切，

∴t=3秒；

當PA=PB時，⊙P與BC相切，

設OP=x，則PB=PA=5﹣x，

在Rt△OAP中，x2+32=（5﹣x）2，

解得：x=1.6，

∴t=3+1.6=4.6（秒）；

∴t=0或4或4.6秒時，⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切．