Question

【題目】如圖，扇形OMN的半徑為1，圓心角為90°，點B是上一動點，BA⊥OM于點A，BC⊥ON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q．

（1）當點B移動到使AB：OA=：3時，求的長；

（2）當點B移動到使四邊形EPGQ為矩形時，求AM的長．

（3）連接PQ，試說明3PQ2+OA2是定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當AM的長為（1﹣）時，四邊形EPGQ是矩形（3）定值

【解析】

（1）先利用三角函數求出∠AOB=30°，再用弧長公式即可得出結論；

（2）易得△AED∽△BCE，根據相似三角形的對應邊成比例與勾股定理，即可求得OA的長，即可得出結論；

（3）連接GE交PQ于O′，易得O′P=O′Q，O′G=O'E，然后過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′，由△PCF∽△PEG，根據相似三角形的對應邊成比例與勾股定理，即可求得3PQ2+OA2的值．

解：（1）證明：連接OB，如圖①，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=∠OAB=90°，

在Rt△AOB中，tan∠AOB==，

∴∠AOB=30°，

∴==；

（2）如圖②，∵EPGQ是矩形．

∴∠CED=90°

∴∠AED+∠CEB=90°．

又∵∠DAE=∠EBC=90°，

∴∠AED=∠BCE．

∴△AED∽△BCE，

∴．

設OA=x，AB=y，則=，

得y2=2x2，

又 OA2+AB2=OB2，

即x2+y2=12．

∴x2+2x2=1，

解得：x=．

∴AM=OM﹣OA=1﹣

當AM的長為（1﹣）時，四邊形EPGQ是矩形；

（3）如圖③，連接GE交PQ于O′，

∵四邊形EPGQ是平行四邊形，

∴O′P=O′Q，O′G=O′E．

過點P作OC的平行線分別交BC、GE于點B′、A′．

由△PCF∽△PEG得， =2，

∴PA′=A′B′=AB，GA′=GE=OA，

∴A′O′=GE﹣GA′=OA．

在Rt△PA′O′中，PO′2=PA′2+A′O′2，

即=+，

又 AB2+OA2=1，

∴3PQ2=AB2+，

∴OA2+3PQ2=OA2+（AB2+）=是定值．