Question

定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”．
性質：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等．
理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
應用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．
（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，點D在線段AB上，連接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，將△ACD沿CD所在直線翻折，得到△A′CD，若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，請直接寫出△ABC的面積．

Answer 1

應用：（1）證明見解析
（2）△ABC的面積是2或。

試題分析：應用：（1）連接EF，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，從而根據平行四邊形的性質證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形。
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD﹣2S_△ABF即可求解。
解：應用：（1）證明：如圖，連接EF，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC。
∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形。
∴OE=OB。∴△AOE和△AOB是友好三角形。
探究：分為兩種情況：
①如圖1，連接A′B，過B作BM⊥AC于M，

∵S_△ACD=S_△BCD．∴AD=BD=AB。
∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2。
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，
∴S_△DOC=S_△ABC=S_△BDC=S_△ADC=S_△A′DC。
∴DO=OB，A′O=CO。∴四邊形A′DCB是平行四邊形。∴BC=A′D=2。
∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC。
∴C和M重合。∴∠ACB=90°。
由勾股定理得：，
∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×=。
②如圖2，連接A′B，過C作CQ⊥A′D于Q，

∵S_△ACD=S_△BCD，∴AD=BD=AB。
∵沿CD折疊A和A′重合，∴AD=A′D=AB4=2。
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的，
∴S_△DOC=S_△ABC=S_△BDC=S_△ADC=S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO。∴四邊形A′DCB是平行四邊形。
∴BD=A′C=2。
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2。
綜上所述，△ABC的面積是2或。