Question

【題目】如圖1，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．

（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）如圖2，連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；用含m的代數式表示線段PF的長；并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

（3）如圖3，連接AC，在x軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）.對稱軸是直線x=1；（2）PF=﹣m2+3m.當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；（3）存在，Q1（4，0），Q2（1，0），Q3（﹣1，0），Q4（﹣﹣1，0）．

【解析】試題分析：（1）通過解方程﹣x2+2x+3=0可得A點和B點坐標，再計算自變量為0時的函數值可得到C點坐標，然后利用對稱性可確定拋物線的對稱軸；（2）先利用待定系數法求出直線BC的函數關系式為y=﹣x+3，再確定E,D點坐標，E（1，2），D（1，4），表示出P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），兩點縱坐標相減便得PF=﹣m2+3m，接著計算出DE=2，然后利用平行四邊形的判定方法，即一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到﹣m2+3m=2，再解方程求出m即可．（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進行討論即可求解．

試題解析：（1）當y=0時，﹣x2+2x+3=0，即-（x-3）(x+1)=0,解得x1=﹣1，x2=3，則A（﹣1，0），B（3，0），當x=0時，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3）；利用A,B點坐標求出拋物線的對稱軸是直線x==1；所以A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）.對稱軸是直線x=1；（2）設直線BC的函數關系式為y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分別代入得，解得k=﹣1，b=3，∴直線BC的函數關系式為y=﹣x+3，∵對稱軸是直線x=1，∴E（1，2），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標為（1，4），當x="m" 時，y=﹣m+3，∴P（m，﹣m+3），F（m，﹣m2+2m+3），∴線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，即線段PF=﹣m2+3m，又線段DE=4﹣2=2，∵PF∥DE，∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，即﹣m2+3m=2，解得m1=2，m2=1（不合題意，舍去），∴當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形；（3）分三種情況：QA=QC；CA=CQ；AC=AQ；進行討論：設在x軸上存在點Q（x，0），使△ACQ為等腰三角形．分三種情況：①如果QA=QC，那么（x+1）2=x2+32，解得x=4，則點Q1（4，0）；②如果CA=CQ，那么12+32=x2+32，解得x1=1，x2=﹣1（不合題意舍去），則點Q2（1，0）；③如果AC=AQ，那么12+32=（x+1）2，解得x1=﹣1，x2=﹣﹣1，則點Q3（﹣1，0），Q4（﹣﹣1，0）；綜上所述存在點Q，使△ACQ為等腰三角形．它的坐標為：Q1（4，0），Q2（1，0），Q3（﹣1，0），Q4（﹣﹣1，0）．