Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，AD與BC相交于點E．連接BD，作∠BDF＝∠BAD，DF與AB的延長線相交于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若DF∥BC，求證：AD平分∠BAC；

（3）在（2）的條件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）如圖，連結OD，只需推知OD⊥DF即可證得結論；

（2）根據平行線的性質得到∠FDB＝∠CBD，由圓周角的性質可得∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，即AD平分∠BAC；

（3）由勾股定理可求AD的長，通過△BDE∽△ADB，可得，可求DE＝，AE＝，由銳角三角函數可求CE的長．

（1）連接OD，CD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO+∠ODB＝90°，

∵OA＝OD，

∴∠BAD＝∠ADO，

∵∠BDF＝∠BAD，

∴∠BDF+∠ODB＝90°，

∴∠ODF＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切線；

（2）∵DF∥BC，

∴∠FDB＝∠CBD，

∵，

∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，

∴AD平分∠BAC；

（3）∵AB＝10，BD＝6，

∴AD＝，

∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°，

∴△BDE∽△ADB，

∴，

∴，

∴DE＝，

∴AE＝AD﹣DE＝，

∵∠CAD＝∠BAD，

∴sin∠CAD＝sin∠BAD

∴

∴

∴CE＝