Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°，點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t（t＞0）秒，過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）當t為何值時，△DEF是等邊三角形？說明理由；

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？（請直接寫出t的值）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當t為時，△DEF是等邊三角形；見解析；（3）當t為或4時，△DEF為直角三角形．

【解析】

（1）在Rt△CDF中，利用30度角的對邊等于斜邊的一半，即可得出DF的長，此題得解；
（2）易知當△DEF是等邊三角形時，△EDA是等邊三角形，由∠A=60°可得出AD=AE，進而可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論；
（3）易知當△DEF為直角三角形時，△EDA是直角三角形，分∠AED=90°和∠ADE=90°兩種情況考慮，利用30度角的對邊等于斜邊的一半，可得出關于t的一元一次方程，解之即可得出結論．

解：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AE∥DF，

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

（2）∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴當△DEF是等邊三角形時，△EDA是等邊三角形．

∵∠A=90°-∠C=60°，

∴AD=AE．

∵AE=t，AD=AC-CD=10-2t，

∴t=10-2t，

∴t=，

∴當t為時，△DEF是等邊三角形．

（3）∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴當△DEF為直角三角形時，△EDA是直角三角形．

當∠AED=90°時，AD=2AE，即10-2t=2t，

解得：t=；

當∠ADE=90°時，AE=2AD，即t=2（10-2t），

解得：t=4．

綜上所述：當t為或4時，△DEF為直角三角形．