Question

如圖，在平面直角坐標系內，點O為坐標原點，直線y=-x+5交x軸于點A，交y軸于點B，直線CD交x軸負半軸于點C，交y軸正半軸于點D，直線CD交AB于點E，過點E作x軸的垂線，點F為垂足，若EF=3，tan∠ECF=
（1）求直線CD的解析式；
（2）橫坐標為t的點P在CD（點P不與點C，點D重合）上，過點P作x軸的平行線交AB于點G，過點G作AB的垂線交y軸于點H，設線段OH的長為d，求d與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當t為何值時，OH的中點在以PF為直徑的圓上？

Answer 1

解：（1）∵EF=3，EF⊥x軸，
∴點E的縱坐標是3，
又∵點E在直線y=-x+5上，
∴E（2，3），則F（2，0）．
∵tan∠ECF=，
∴=，則FC=6．
∴OC=FC-OF=6-2=4，即C（-4，0）．
設直線CD的解析式為：y=kx+b（k≠0），則，
解得．
∴直線CD的解析式為：y=x+2；

（2）根據題意知，-4＜t＜0．
如圖1，設PG交y軸于點M．
∵點P在直線CD上，
∴P（t，t+2），
∴M（0，t+2），
由直線y=-x+5交x軸于點A，交y軸于點B，易求A（5，0），B（0，5），
∴OA=OB=5，
∴∠OBA=∠OAB=45°．
∵PG∥x軸，GH⊥AB，
∴∠MGB=∠MGH=45°，
∴BM=MG=MH=5-（t+2）=-t+3，
∵-4＜t＜0，
∴BM＞3，
∴BH＞6＞OB，
∴點H在y軸的負半軸上，
∴OH=MH-OM，即d=-t+3-（t+2）=-t+1（-4＜t＜0），
∴d與t之間的函數關系式是d=-t+1（-4＜t＜0）；

（3）如圖2，設OH的中點為N．根據題意得∠PNF=90°，
∴∠PNM+∠FNO=90°．
∵∠FNO+∠OFN=90°，
∴∠PNM=∠OFN．
又∵∠PMN=∠NOF=90°，
∴△PMN∽△NOF，
∴=
∵PM=t，NO==，MN=+t+2=，
∴=，
解得t=-．
∴當t=-時，OH的中點在以PF為直徑的圓上．
分析：（1）根據已知條件“過點E作x軸的垂線，點F為垂足，若EF=3”求得點E的橫坐標，然后將其代入直線AB的方程即可求得點E的縱坐標，再由tan∠ECF=求得點C的坐標；所以將點C、E的坐標分別代入直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求得k、b的值即可；
（2）根據題意知，-4＜t＜0．如圖1，設PG交y軸于點M．根據等腰直角△BGH“三合一”的性質推知BM=MG=MH=5-（t+2）=-t+3，然后結合t的取值范圍知點H在y軸的負半軸上，再由圖形中線段間的和差關系求得以t表示的線段OH的長度d；
（3）通過相似三角形△PMN∽△NOF的對應邊成比例得到=，因為PM=t，NO==，MN=+t+2=，所以將相關線段的長度代入該比例式即可求得t的值．
點評：本題考查了一次函數綜合題．其中涉及到的知識點有待定系數法求一次函數解析式，坐標與圖形的性質，相似三角形的判定與性質以及圓周角定理等．綜合性較強，難度較大．