Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線，如果由這點(diǎn)、原點(diǎn)及兩個(gè)垂足為頂點(diǎn)的矩形的周長(zhǎng)與面積相等，那么稱這個(gè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的“巧點(diǎn)”．例如，圖1中過點(diǎn)P（4，4）分別作x軸，y軸的垂線，垂足為A，B，矩形OAPB的周長(zhǎng)為16，面積也為16，周長(zhǎng)與面積相等，所以點(diǎn)P是巧點(diǎn)．請(qǐng)根據(jù)以上材料回答下列問題：

（1）已知點(diǎn)C（1，3），D（-4，-4），E（5，-），其中是平面直角坐標(biāo)系中的巧點(diǎn)的是______；

（2）已知巧點(diǎn)M（m，10）（m＞0）在雙曲線y=（k為常數(shù)）上，求m，k的值；

（3）已知點(diǎn)N為巧點(diǎn)，且在直線y=x+3上，求所有滿足條件的N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）D和E；（2）m=，k=25；（3）N的坐標(biāo)為(-6，-3)或(3，6)．

【解析】

（1）利用矩形的周長(zhǎng)公式、面積公式結(jié)合巧點(diǎn)的定義，即可找出點(diǎn)D，E是巧點(diǎn)；

（2）利用巧點(diǎn)的定義可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之可得出m的值，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出k值；

（3）設(shè)N(x，x+3)，根據(jù)巧點(diǎn)的定義得到2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，分三種情況討論即可求解．

（1）∵（4+4）×2=4×4，（5+）×2=5×，（1+3）×2≠1×3，

∴點(diǎn)D和點(diǎn)E是巧點(diǎn)，

故答案為：D和E；

（2）∵點(diǎn)M(m，10)（m＞0），

∴矩形的周長(zhǎng)=2（m+10），面積=10m．

∵點(diǎn)M是巧點(diǎn)，

∴2（m+10）=10m，解得：m=，

∴點(diǎn)M(，10)．

∵點(diǎn)M在雙曲線y=上，

∴k=×10=25；

（3）設(shè)N(x，x+3)，則2（|x|+|x+3|）=|x||x+3|，

當(dāng)x≤-3時(shí)，化簡(jiǎn)得：x2+7x+6=0，解得：x=-6或x=-1（舍去）；

當(dāng)-3＜x＜0時(shí)，化簡(jiǎn)得：x2+3x+6=0，無實(shí)根；

當(dāng)x≥0時(shí)，化簡(jiǎn)得：x2-x-6=0，解得：x=3或x=-2（舍去），

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-6，-3)或(3，6)．