Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1 ， 則∠A1=；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2 ， 得∠A2；…；∠An﹣1BC與∠An﹣1CD的平分線相交于點An ， 要使∠An的度數為整數，則n的值最大為 ．

Answer 1

【答案】32°；6
【解析】解：由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1 ，
∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD，
∴∠A1+∠A1BC= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠A1BC，
∴∠A1= ∠A= 64°=32°；
∵A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1 ，
∴∠A1= ∠A，
同理可得∠A1=2∠A2 ，
∴∠A2= ∠A，
∴∠A=2n∠An ，
∴∠An=（ ）n∠A= ，
∵∠An的度數為整數，
∵n=6．
故答案為：32°，6．
根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根據角平分線的定義可得∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD，然后整理得到∠A1= ∠A，由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1 ， 同理可得∠A1=2∠A2 ， 即∠A=22∠A2 ， 因此找出規律．