Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P、點(diǎn)E分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DP、PE．將△ADP與△BPE分別沿DP與PE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A′，B′處．

(1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)A′與點(diǎn)B′重合于點(diǎn)F處，過(guò)點(diǎn)C作CK⊥EF于K，求CK的長(zhǎng)；

(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，若P，A'，B'三點(diǎn)恰好在同一直線上，且A'B'＝4 ，試求此時(shí)AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）,PA的長(zhǎng)為2或6．

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)可得E ,F,D三點(diǎn)在同一直線上，在Rt△DEC中,根據(jù)勾股定理可求出BE，CE，DE的長(zhǎng)，再根據(jù)面積法即可求出CK的值；

（2）分兩種情況進(jìn)行討論：根據(jù)A′B′＝4列出方程求解即可.

⑴如圖，

∵四邊形ABCD為矩形，將△ADP與△BPE分別沿DP與PE折疊，

∴∠PFD＝∠PFE＝90°,

∴∠PFD＋∠PFE＝180°,即：E ,F,D三點(diǎn)在同一直線上．

設(shè)BE＝EF＝x,則EC＝6－x,

∵DC＝AB＝8, DF＝AD＝6,

在Rt△DEC中,∵DE＝DF＋FE＝6＋x, EC＝6－x, DC＝8,

∴(6＋x)2＝(6－x)2＋82,

計(jì)算得出x=,即BE＝EF＝,

∴DE＝, EC＝,

∵S△DCE＝DCCE＝DECK,

∴CK＝；

⑵①如圖2中,設(shè)AP＝x,則PB＝8－x,

由折疊可知：PA′＝PA＝x , PB′＝PB＝8－x,

∵A′B′＝4,

∴8－x－x＝4,

∴x＝2, 即AP＝2．

②如圖3中,

∵A′B′＝4,

∴x－(8－x)＝4, ∴x＝6, 即AP＝6．

綜上所述,PA的長(zhǎng)為2或6．