Question

【題目】已知如圖，拋物線經過點、．

求、的值；

如圖，點與點關于點對稱，過點的直線交軸于點，交拋物線于另一點．若，求的值；

如圖，在的條件下，點是軸上一點，連、分別交拋物線于點、，探究與的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)b=-2,c=-3;(2)1;(3)見解析.

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）取點Q（1，4），P（0，1），如圖1中，作QR⊥y軸于R，連接PQ，則RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ與y軸的交點是N，與拋物線的交點是M，利用方程組即可解決問題．
（3）結論：EF∥BM或EF與BM重合．設P（0，m），求出直線PM、PB，再利用方程組求出點E、F坐標，求出直線EF的解析式即可解決問題．

解：∵拋物線經過點、，
∴有方程組，解得，
∴，．

∵拋物線解析式為，

∴點坐標，，，，
∵點與點關于點對稱
∴是等腰直角三角形，∴，
取點，，如圖中，作軸于，連接，則，，
∴，
∴，，
∵，∴，
∴，∵，
∴，∵，
∴，
∴由此與軸的交點是，與拋物線的交點是，
∵，，設直線為，則，解得，
∴直線的解析式為，
∴，
由解得或，
∵，∴，
作軸于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴
∴．

結論：或與重合．
理由：設，
∵，，
∴可得直線的解析式為，直線的解析式為，
由消去得，
，
∴或，
時，，
時，，

∴方程組的解為或，
∴，
由解得或，
∴，
設直線解析式為，
則，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
∵直線的解析式為，
∴時，，
時，直線與重合．