Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D,則下列四個結論中：

①線段AD上任意一點到點B的距離與到點C的距離相等;

②線段AD上任意一點到AB的距離與到AC的距離相等;

③若點Q是線段AD的三等分點 ,則△ACQ的面積是△ABC面積的;

④若,則;

正確結論的序號是（ ）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

先根據等腰三角形三線合一的性質得出AD是BC的中垂線，再由中垂線的性質可判斷①正確；

先根據等腰三角形三線合一的性質得出AD是角平分線，根據角平分線的性質可判斷②正確；

根據等腰三角形三線合一的性質得出AD是BC的中線，得到△ADC的面積=△ABC的面積的，若點Q是線段AD的三等分點，則△ACQ的面積是△ADC面積的或，進而得到△ACQ的面積是△ABC面積的或，從而可判斷③錯誤；

根據等腰三角形三線合一的性質得出AD是BC的中垂線，得出∠CAD=30°，由30°角所對直角邊等于斜邊的一半，即可判斷④正確．

∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分線，BD=CD，∴線段AD上任一點到點C、點B的距離相等，∴①正確；

∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分線，∴AD上任意一點到AB、AC的距離相等，②正確；

∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分線，BD=CD，∴△ADC的面積=△ABC的面積的，若點Q是線段AD的三等分點，則△ACQ的面積是△ADC面積的或，∴△ACQ的面積是△ABC面積的或，∴③錯誤；

∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的平分線，BD=CD．

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵∠B=60°，∴∠C=60°，∴∠CAD=30°，∴CD=AC，∴BD=AC，∴④正確．

故選B．