Question

【題目】如圖，△ABC中，E是AC上一點，且AE=AB，∠BAC=2∠EBC ，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，交EB于點F．

（1）求證：BC與⊙O相切；

（2）若AB=8，BE=4，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=

【解析】

（1）運用切線的判定，只需要證明AB⊥BC即可，即證∠ABC=90°. 連接AF，依據直徑所對圓周角為90度，可以得到∠AFB=90°，依據三線合一可以得到2∠BAF=∠BAC，再結合已知條件進行等量代換可得∠BAF=∠EBC，最后運用直角三角形兩銳角互余及等量代換即可.

（2）依據三線合一可以得到BF的長度，繼而算出∠BAF=∠EBC的正弦值，過E作EG⊥BC于點G，利用三角函數可以解除EG的值，依據垂直于同一直線的兩直線平行，可得EG與AB平行，從而得到相似三角形，依據相似三角形的性質可以求出AC的長度，最后運用勾股定理求出BC的長度.

（1）證明：連接AF．

∵AB為直徑， ∴∠AFB=90°．

又∵AE=AB，

∴2∠BAF=∠BAC，∠FAB+∠FBA=90°．

又∵∠BAC=2∠EBC，

∴∠BAF=∠EBC，

∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．

∴∠ABC=90°．即AB⊥BC，

∴BC與⊙O相切；

（2）解：過E作EG⊥BC于點G，

∵AB=AE，∠AFB=90°，

∴BF=BE=×4=2，

∴sin∠BAF=，

又∵∠BAF=∠EBC，

∴sin∠EBC=．

又∵在△EGB中，∠EGB=90°，

∴EG=BEsin∠EBC=4×=1，

∵EG⊥BC，AB⊥BC，

∴EG∥AB，

∴△CEG∽△CAB，

∴．

∴，

∴CE=，

∴AC=AE+CE=8+=．

在Rt△ABC中，

BC=