Question

【題目】如圖，點是等邊內一點，且，點是邊的中點，連接，.

（1）如圖1，若點，，三點共線，則與的數量關系是______；

（2）如圖2，若點，，三點不共線，問（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，若，，直接寫出的長是______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）上述結論仍然成立，證明見解析；（3）

【解析】

（1）由等邊三角形的性質和已知條件得出∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AM⊥BC，∠BAP=∠CAP=∠BAC=30°，得出PB=PC，由等腰三角形的性質得出∠PBC=∠PCB=30°，得出PC=2PM，證出∠ACP=60°-30°=30°=∠CAP，得出AP=PC，即可得出AP=2PM；（2）延長BP至D，使PD=PC，連接AD、CD，證明△ACD≌△BCP（SAS），得出AD=BP，∠ADC=∠BPC=120°，證明△CMN≌△BMP（SAS），得出CN=BP=AD，∠NCM=∠PBM，證明△ADP≌△NCP（SAS），即可得出AP=PN=2CM；（3）作CE⊥BD于E，設BP=4x，則PD=PC=3x，由等邊三角形的性質得出PE=PD=x，CE=PE=x，得出BE=BP+PE=x，在Rt△BCE中，由勾股定理得出方程，求出x=2，得出AD=BP=8，PD=PC=6，作PF⊥AD于F，則∠DPF=30°，由直角三角形的性質得出DF=PD=3，PF=DF=3，得出AF=AD-DF=8-3=5，由勾股定理即可得出答案．

（1）AP=2PM，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，點M是邊BC的中點，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AM⊥BC，∠BAP=∠CAP=∠BAC=30°，

∴PB=PC，

∵∠BPC=120°，

∴∠PBC=∠PCB=30°，

∴PC=2PM，∠ACP=60°-30°=30°=∠CAP，

∴AP=PC，

∴AP=2PM；

故答案為：AP=2PM；
（2）AP=2PM成立，理由如下：

如圖，延長BP至D，使PD=PC，連接AD、CD，

則∠CPD=180°-∠BPC=60°，

∴△PCD是等邊三角形，

∴CD=PD=PC，∠PDC=∠PCD=60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，∠ACB=60°=∠PCD，

∴∠BCP=∠ACD，

又∵AC=CB，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD=BP，∠ADC=∠BPC=120°，

∴∠ADP=120°-60°=60°，

延長PM至N，使MN=MP，連接CN，

∵點M是邊BC的中點，

∴CM=BM，

又∵∠CMN=∠PMB，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN=BP=AD，∠NCM=∠PBM，

∴CN∥BP，

∴∠NCP+∠BPC=180°，

∴∠NCP=60°=∠ADP，

在△ADP和△NCP中，

，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

∴AP=PN=2CM；

（3）如圖，延長BP至D，使PD=PC，連接AD、CD，延長PM至N，使MN=MP，連接CN，作CE⊥BD于E，

同（2）得：AD=BP，AP=2CM；

設BP=4x，則PD=PC=3x，

∵CE⊥BD，△CPD是等邊三角形，

∴PE=PD=x，CE=PE=x，

∴BE=BP+PE=x，

∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB= ，

在Rt△BCE中，由勾股定理得：

解得：x=2，

∴AD=BP=8，PD=PC=6，

作PF⊥AD于F，則∠DPF=90°-60°=30°，
∴DF= PD=3，PF= DF=3 ，

∴AF=AD-DF=8-3=5，

∴；

故答案為：．