Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D，且3OC＝4OB，對稱軸為直線x＝，點E，連接CE交對稱軸于點F，連接AF交拋物線于點G．

（1）求拋物線的解析式和直線CE的解析式；

（2）如圖②，過E作EP⊥x軸交拋物線于點P，點Q是線段BC上一動點，當QG+QB最小時，線段MN在線段CE上移動，點M在點N上方，且MN＝，請求出四邊形PQMN周長最小時點N的橫坐標；

（3）如圖③，BC與對稱軸交于點R，連接BD，點S是線段BD上一動點，將△DRS沿直線RS折疊至△D′RS，是否存在點S使得△D′RS與△BRS重疊部分的圖形是直角三角形？若存在，請求出BS的長，若不存在，請說明理由．（參考數據：tan∠DBC＝）

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+4．（2）；（3）BS的值為或．

【解析】

（1）利用待定系數法即可解決問題；

（2）如圖1中，作QH⊥AB于H．首先求出直線AF的解析式，利用方程組求出點G坐標，再證明GQ+BQ＝GQ+QH，推出當G、Q、H三點共線時，GQ+BQ的值最小，最小值為，此時Q（，）．如圖2中，將點Q沿CE方向平移個單位得到Q′，作點Q′關于直線CE的對稱點Q″，連接PQ″交直線CE于M，此時四邊形PQNM的周長最小．想辦法求出點M的坐標即可解決問題；

（3）分兩種情形，①如圖3中，當RS⊥BD時，△D′RS與△BRS重疊部分的圖形是直角三角形．②如圖4中，當RD′⊥BD時，分別求解即可；

解：（1）由題意C（0，4），

∴OC＝，

∵3OC＝4OB，

∴OB＝3，

∴B（3，0），

∵拋物線的對稱軸x＝，

∴A（﹣，0），

設拋物線的解析式為y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．

設直線CE的解析式為y＝kx+b，則有，解得，

∴直線CE的解析式為y＝﹣2x+4．

（2）如圖1中，作QH⊥AB于H．

由（1）可知F（，2），

∴直線AF的解析式為y＝x+，

由，解得或，

∴G（，），

∵QH∥CO，BC＝＝5，

∴，

∴QH＝BQ，

∴GQ+BQ＝GQ+QH，

∴當G、Q、H三點共線時，GQ+BQ的值最小，最小值為，此時Q（，）．

如圖2中，將點Q沿CE方向平移個單位得到Q′，作點Q′關于直線CE的對稱點Q″，連接PQ″交直線CE于M，此時四邊形PQNM的周長最小．

易知Q′（，2），Q″（，），

∵P（2，4），

∴直線PQ″的解析式為y＝x+，

由，解得，

∴M（，），

∵MN＝，可得N（，），

∴點N的橫坐標為．

（3）如圖3中，①當RS⊥BD時，△D′RS與△BRS重疊部分的圖形是直角三角形．

設拋物線的對稱軸交x軸于H設拋物線的對稱軸交x軸于H．由題意：BH＝2，DH＝，BD＝＝ ，

∵RH∥CO，

∴，

∴RH＝，DR＝DH﹣RH＝，

∵△DRS∽△DBH，

∴，

∴RS＝，DS＝，

∴BS＝BD﹣DS＝．

②如圖4中，當RD′⊥BD時，設垂足為K，作SG⊥DH于G．

∵∠SRD＝∠SRD′，SG⊥RD，SK⊥RD′，

∴SG＝SK，設SG＝SK＝n，

∵D（，），DR＝RH＝，BD＝＝，

在Rt△GSD中，∵DG2+SG2＝SD2，

∴（﹣）2+m2＝（﹣m）2，

解得m＝﹣，

∴SB＝SK+BK＝﹣+＝+

綜上所述，滿足條件的BS的值為或+．