Question

【題目】如圖1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，點C在線段OB上，OC＝2BC，AO邊上的一點D滿足∠OCD＝30°．將△OCD繞點O逆時針旋轉α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D兩點的對應點分別為點C′，D′，連接AC′，BD′，取AC′的中點M，連接OM．

（1）如圖2，當C′D′∥AB時，α＝　 　°，此時OM和BD′之間的位置關系為　 　；

（2）畫圖探究線段OM和BD′之間的位置關系和數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）150，垂直；（2）OM⊥BD′，OM＝BD′

【解析】

（1）根據平行線的性質得到∠ABD′+∠C′D′B＝180°，

根據周角的定義即可得到結論；

（2）取AO的中點E，連接ME，延長MO交BD′于N，根據三角形的中位線的性質得到EM∥OC′，EM＝OC′，根據相似三角形的性質得到∠AOM＝∠2，，根據垂直的定義即可得到結論．

解：（1）∵C′D′∥AB，

∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°，

∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°，

∴∠OBD′+∠BD′O＝60°，

∴∠BOD′＝120°，

∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝150°，

∴α＝150°，此時，OM⊥BD′；

故答案為：150，垂直；

（2）OM⊥BD′，OM＝BD′，

證明：取AO的中點E，連接ME，延長MO交BD′于N，

∵AC′的中點M，

∴EM∥OC′，EM＝OC′，

∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°，

∴∠BOD′+′AOC′＝180°，

∴∠OEM＝∠BOD′，

∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°，

∴＝＝＝，

∴，

∴△EOM∽△OBD′，

∴∠AOM＝∠2，，

即OM＝BD′，

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，

∴OM⊥BD′．