Question

【題目】綜合與實踐：

發現問題：

如圖①，已知：△OAB中，OB=3，將△OAB繞點O逆時針旋轉90°得△OA′B，連接BB′．

則BB′= ．

問題探究：

如圖②，已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊△BCD，P為△ABC內一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉60°，P的對應點為Q．

（1）求證：△DCQ≌△BCP

（2）求PA+PB+PC的最小值．

實際應用：

如圖③，某貨運場為一個矩形場地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，頂點A、D為兩個出口，現在想在貨運廣場內建一個貨物堆放平臺P，在BC邊上（含B、C兩點）開一個貨物入口M，并修建三條專用車道PA、PD、PM．若修建每米專用車道的費用為10000元，當M，P建在何處時，修建專用車道的費用最少？最少費用為多少？

Answer 1

【答案】發現問題：3；問題探究：（1）證明參見解析；（2）12；實際應用：M建在BC中點（BM=400米）處，點P在過M且垂直于BC的直線上，且在M上方（500﹣）米處，最少費用為1000000（4+5）萬元．

【解析】

試題分析：發現問題：根據旋轉的性質，利用勾股定理直接求得BB'的值；問題探究：（1）由等邊三角形的性質和旋轉的性質，得到△DCQ≌△BCP的條件；（2）由兩點之間線段最短得PA+PB+PC最小時的位置，用等邊三角形的性質計算；實際應用：先確定出最小值時的位置，當M，P，P1，D1在同一條直線上時，AP+PM+DP最小，最小值為D1N，再用等邊三角形的性質計算．

試題解析：發現問題：由旋轉角度可知∠BOB′=90°，OB=OB'=3，根據勾股定理得，BB′=3；問題探究：（1）∵△BDC是等邊三角形，∴CD=CB，∠DCB=60°，由旋轉得，∠PCQ=60°，PC=QC，∴∠DCQ=∠BCP，在△DCQ和△BCP中，∴△DCQ≌△BCP；（2）如圖1，連接PQ，

∵PC=CQ，∠PCQ=60°∴△CPQ是等邊三角形，∴PQ=PC，由（1）有，DQ=PB，∴PA+PB+PC=AP+PQ+QD，由兩點之間線段最短得，AP+PQ+QD≥AD，∴PA+PB+PC≥AD，∴當點A，P，Q，D在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值為AD的長，作DE⊥AB，∵△ABC為邊長是4的等邊三角形，∴CB=AC=4，∠BCA=60°，∴CD=CB=4，∠DCE=60°，∴DE=6，∠DAE=∠ADC=30°，∴AD=12，即：PA+PB+PC的最小值為12；實際應用：如圖2，連接AM，DM，將△ADP繞點A逆時針旋轉60°，得△AP′D′，由（2）知，當M，P，P′，D′在同一條直線上時，AP+PM+DP最小，最小值為D′M，∵M在BC上，∴當D′M⊥BC時，D′M取最小值，設D′M交AD于E，∵△ADD′是等邊三角形，∴EM=AB=500，∴BM=400，PM=EM﹣PE=500﹣，∴D′E=AD=400，∴D′M=400+500，∴最少費用為10000×（400+500）=1000000（4+5）萬元；∴M建在BC中點（BM=400米）處，點P在過M且垂直于BC的直線上，且在M上方（500﹣）米處，最少費用為1000000（4+5）萬元．