Question

【題目】如圖，矩形ABCO在平面直角坐標系中，AO，CO分別在y軸，x軸正半軸上，若S矩形AOCB=BO2，矩形AOCB的周長為16．

（1）求B點坐標；

（2）點D在OC延長線上，設D點橫坐標為d，連BD，將直線DB繞D點逆時針方向旋轉45°交AO于E，交BC于F，連EC，設△CDE面積=S，求出S與d的函數關系式并注明自變量d的取值范圍；

（3）在（2）條件下，當點E在AO上時，過A作ED的平行線交CB于G，交BD于N，若BG=2CF，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）B（4，4）；（2）當4＜d＜8時，S=-+6d-16，當d=8時，C、D、E在同一直線上，S=0；當d＞8時，S=d2-6d+16；（3）2.

【解析】

（1）設AO=m，AB=n，根據S矩形AOCB=BO2，矩形AOCB的周長為16，列等式解出即可；
（2）如圖2，過B作ED的垂線交OD于L，交ED于K連接OK、BE和CK，證明CD=AE=d-4，表示OE的長，利用三角形面積可得S與d的函數關系式，根據絕對值的意義分情況討論可得關系式；
（3）如圖3，過A作BD的平行線交OD于R，過R作CB的平行線交DE于T，先證明四邊形ABDR是平行四邊形，得AB=RD=OC，再證明△ABG≌△DRT（AAS），根據CD=CR列等式：d-4=2，可得d=6，代入（2）中對應的解析式可得S的值．

解：（1）設AO=m，AB=n，

∵S矩形AOCB=BO2，矩形AOCB的周長為16，

∴mn=，2m+2n=16，

∴m=n=4，

∴B（4，4）；

（2）如圖2，過B作ED的垂線交OD于L，交ED于K，連接OK、BE和CK，

由旋轉得：∠BDE=45°，

∴△BKD是等腰直角三角形，

∴BK=DK，

∵BK⊥DE，

∴∠BKF=∠DKL=90°，

∵∠BKF=∠FCD=90°，∠BFK=∠CFD，

∴∠FBK=∠CDF，

在△BKF和△DKL中，

∵，

∴△BKF≌△DKL（ASA），

∴KF=FL，

過K作KM⊥BC于M，作KN⊥OD于N，

∴∠NKM=∠FKL=90°，

∴∠MKF=∠NKL，

∵∠KNL=∠KMF=90°，

∴△KMF≌△KNL（AAS），

∴KM=KN，

∴∠BCK=∠KCO，

∵BC=OC，KC=KC，

∴△CKO≌△CKB（SAS），

∴OK=BK=DK，

∵KN⊥OD，

∴ON=DN，

∵KN∥AO，

∴EK=DK，

∴EB=BD，

∴∠BED=∠BDE=45°，

∴△EBD是等腰直角三角形，

易得△AEB≌△CDB（ASA），

∴AE=CD=d-4，

∴EO=|4-（d-4）|=|8-d|，

∴S=CDOE=，

當4＜d＜8時，S=（d-4）（8-d）=-+6d-16，

當d=8時，C、D、E在同一直線上，S=0；

當d＞8時，S=（d-4）（d-8）=d2-6d+16；

（3）如圖3，過A作BD的平行線交OD于R，過R作CB的平行線交DE于T，

∵AB∥RD，AR∥BD，

∴四邊形ABDR是平行四邊形，

∴AB=RD=OC，

∴CD=OR=AE=d-4，

∴△ABG≌△DRT（AAS），

∴BG=TR=2CF，

∴OR=CR，

∴d-4=2，d=6，

代入S=-×62+6×6-16=2．