Question

【題目】已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AB為直徑，點D是弧AC的中點，連結BD交AC于點E，過D點作⊙O的切線交BC的延長線于F．

（1）求證：∠FDB = ∠AED.

（2）若⊙O 的半徑為5，tan∠FBD＝，求CF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】（1） 連結OD，交弦AC于點G.證明DFAC，即可得到∠FDB=∠AED，

(2)連結AD 根據圓周角定理可得∠FBD=∠ABD=∠DAC, tan∠FBD=tan∠ABD=tan∠DAC= , 在中，AB=2×5=10, tan∠ABD=,設AD=3x,則BD=4x，根據勾股定理列出方程 解得x=2, 在中，AD=6, tan∠DAC=

同理可得：DG = ,證明CF=DG，即可求解.

（1） 連結OD，交弦AC于點G.

∵ DF切⊙O于點D，

∴ OD⊥DF，

∵ 點D是弧AC的中點，

∴ OD⊥AC，

∴ DFAC，

∴∠FDB=∠AED，

(2)連結AD

∵點D是弧AC的中點

∴ 弧AD=弧CD∴ ∠FBD=∠ABD=∠DAC,

∴ tan∠FBD=tan∠ABD=tan∠DAC= ,

在中，AB=2×5=10, tan∠ABD=,

設AD=3x,則BD=4x∴

解得x=2,

∴ AD=6,

在中，AD=6, tan∠DAC=

同理可得：DG =

∵ AB是直徑∴ ∠ACF=∠ACB=90°

∵ ∠FDO=∠DGC=90°∴ 四邊形DGCF是矩形

∴ CF=DG=.