Question

【題目】如圖，點，過點做直線平行于軸，點關于直線對稱點為．

（1）求點的坐標；

（2）點在直線上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到，若點恰好落在直線上，求點的坐標和直線的解析式；

（3）設點在直線上，點在直線上，當為等邊三角形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）A（1，）；直線BD為；（3）點P的坐標為（，）或（，）.

【解析】

（1）根據題意，點B、C關于點M對稱，即可求出點C的坐標；

（2）由折疊的性質，得AB=CB，BD=AD，根據勾股定理先求出AM的長度，設點D為（1，a），利用勾股定理構造方程，即可求出點D坐標，然后利用待定系數法求直線BD.

（3）分兩種情形：如圖2中，當點P在第一象限時，連接BQ，PA．證明點P在AC的垂直平分線上，構建方程組求出交點坐標即可．如圖3中，當點P在第三象限時，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，構建方程組解決問題即可．

解：（1）根據題意，

∵點B、C關于點M對稱，且點B、M、C都在x軸上，

又點B（），點M（1，0），

∴點C為（3，0）；

（2）如圖：

由折疊的性質，得：AB=CB=4，AD=CD=BD，

∵BM=2，∠AMB=90°，

∴，

∴點A的坐標為：（1，）；

設點D為（1，a），則DM=a，BD=AD=，

在Rt△BDM中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴點D的坐標為：（1，）；

設直線BD為，則

，解得：，

∴直線BD為：；

（3）如圖2中，當點P在第一象限時，連接BQ，PA．

∵△ABC，△CPQ都是等邊三角形，

∴∠ACB=∠PCQ=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵CA=CB，CP=CQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP=BQ，

∵AD垂直平分線段BC，

∴QC=QB，

∴PA=PC，

∴點P在AC的垂直平分線上，

由，解得，

∴P（，）．

如圖3中，當點P在第三象限時，同法可得△CAQ≌△CBP，

∴∠CAQ=∠CBP=30°，

∵B（-1，0），

∴直線PB的解析式為，

由，解得：，

∴P（，）.