Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為BC邊的中點，以點D為頂點的∠EDF的兩邊分別與邊AB，AC交于點E，F，且∠EDF與∠A互補．
（1）如圖1，若AB=AC，且∠A=90°，則線段DE與DF有何數量關系？請直接寫出結論；

（2）如圖2，若AB=AC，那么（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，若AB：AC=m：n，探索線段DE與DF的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：DF=DE，

理由：如圖1，連接AD，

∵Rt△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=45°，

∴D是斜邊BC的中點，

∴∠DAB=∠DAC= ∠BAC=45°，AD⊥BC，

∴AD=DC，

∵∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠ADE=∠FDC，

在△ADE和△CDF中， ，

∴△AED≌△CFD（ASA）；

∴DE=DF；

（2）解：DE=DF依然成立．

如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，

則∠EMD=∠FND=90°，

∵AB=AC，點D為BC中點，

∴AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∵在四邊形AMDN中．，∠DMA=∠DNA=90°，

∴∠MAN+∠MDN=180°，

又∵∠EDF與∠MAN互補，

∴∠MDN=∠EDF，

∴∠1=∠2，在△DEM與△DFN中， ，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

（3）解：結論DE：DF=n：m．

如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，

同（2）可證∠1=∠2，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△DEM∽△DFN，

∴ ．

∵點D為BC邊的中點，

∴S△ABD=S△ADC，

∴ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ．

【解析】（1）DF=DE，理由：如圖1，連接AD，根據等腰直角三角形的性質及等腰三角形的三線合一得∠C=∠B=45°，∠DAB=∠DAC=45°，AD⊥BC，然后根據同角的余角相等得出∠ADE=∠FDC，進而利用ASA判斷出△AED≌△CFD，根據全等三角形對應邊相等得出DE=DF；
（2）DE=DF依然成立．如圖2，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，根據等腰三角形的三線合一得出AD平分∠BAC，再根據角平分線的性質定理得出DM=DN，根據四邊形的內角和得出∠MAN+∠MDN=180°，又根據同角的補角相等得出∠MDN=∠EDF，進而得出∠1=∠2，然后根據ASA判斷出△DEM≌△DFN，根據全等三角形對應邊相等得出結論；
（3）結論DE：DF=n：m．如圖3，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，連接AD，由AA判斷出△DEM∽△DFN，根據相似三角形的對應邊成比例得出=,根據等底同高的兩個三角形面積相等得出S△ABD=S△ADC，得出等積式，再根據等量代換得出結論。
【考點精析】掌握等腰直角三角形和角平分線的性質定理是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．