Question

幾何模型：
條件：如下圖，A、B是直線l同旁的兩個定點．

問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．
方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最小（不必證明）．
模型應用：
（1）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

 

；
（2）如圖2，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；
（3）如圖3，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據勾股定理求得即可；
（2）作A關于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，求A′C的長，即是PA+PC的最小值；
（3）作出點P關于直線OA的對稱點M，關于直線OB的對稱點N，連接MN，它分別與OA，OB的交點Q、R，這時三角形PEF的周長=MN，只要求MN的長就行了．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE中，根據勾股定理得，DE=

22+12

=

5

；

（2）作A關于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即為A′C的長，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°，
∵AO=CO，AO=A′O
∴∠OA'C=∠OCA'=30°，
作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

3

∴A′C=2

3

；

（3）分別作點P關于OA、OB的對稱點M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點Q、R，連接PR、PQ，此時△PQR周長的最小值等于MN．
由軸對稱性質可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=

OM2+ON2

=

102+102

=10

2

．
即△PQR周長的最小值等于10

2

．

點評：此題綜合性較強，主要考查有關軸對稱--最短路線的問題，綜合應用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關知識．