Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A（-1，0），B（1，0），C（0，1），點D為x軸正半軸上的一個動點，點E為第一象限內一點，且CE⊥CD，CE=CD．

（1）試說明：∠EBC＝∠CAB ；

（2）取DE的中點F，連接OF，試判斷OF與AC的位置關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，試探索O、D、F三點能否構成等腰三角形，若能，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OF∥AC；（3）D(1，0)或D（1+，0）

【解析】

（1）易證△AOC，△BOC均為等腰直角三角形，且∠ACD=∠ECB，從而得到

△ACD≌△BCE，由全等三角形對應角相等即可得出結論；

（2）作FL⊥OC ，FK⊥OB，易證∠CFL=∠KFD，CF=DF=DE，得到△CFL≌△DFK，由全等三角形對應邊相等得到FL=FK，由角平分線判定定理得到OF平分∠COB，從而得到∠COF=∠BOF=45°，即可得到OF∥AC．

（3）設D（x，0）(x＞0)．則OD=x，過E作EG⊥y軸于G，則△EGC≌△COD，得到E的坐標，由中點坐標公式得到F的坐標，由兩點間距離公式得到OF，DF的長．然后分三種情況討論：①OD=OF，②OD=FD，③OF=FD．

（1）∵A（-1，0），B（1，0），C（0，1），∴AO=CO=BO=1．

∵CO⊥AB，∴AC=BC，△AOC，△BOC均為等腰直角三角形，∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°，∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD =90°．

又∵CE⊥CD，∴∠ECB+∠BCD =90°，∴∠ACD=∠ECB．

在△ACD與△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE，∴∠EBC＝∠CAB．

（2）OF∥AC．理由如下：

作FL⊥OC ，FK⊥OB，如圖，∵CO⊥BO，∴∠LFK =90°，

∵CE=CD，點F是DE的中點，∴CF⊥DE，∴∠CFL+∠LFD =90°．

又∵∠KFD+∠LFD =90°，∴∠CFL=∠KFD．

∵CE⊥CD，點F是DE的中點，∴CF=DF=DE．

在△CFL與△DFK中，∵，∴△CFL≌△DFK，∴FL=FK．

又∵FL⊥OC ，FK⊥OB，∴OF平分∠COB，∴∠COF=∠BOF=45°．

又∵∠CAO =45°，∠BOF=∠CAO，∴OF∥AC．

（3）設D（x，0）(x＞0)．則OD=x，過E作EG⊥y軸于G．

∵CE⊥CD，∴∠ECD=90°，∴∠GCE+∠DCO=90°．

∵∠GCE+∠GEC=90°，∴∠GEC=∠OCD．

∵∠EGC=∠COD=90°，CE=CD，∴△EGC≌△COD，∴GE=OC=1，CG=OD=x，∴E（1，x+1）．

∵F為ED的中點，∴F(，)，∴OF==，DF==．

△ODF為等腰三角形，分三種情況討論：

①OD=OF，則x=，解得：x=，∴D(，0)；

②OD=FD，則x=，解得：x=±1（負數舍去），∴x=1，∴D(1，0)；

③OF=FD，則=，解得：x=0(舍去)，∴此種情況不成立．

綜上所述：D(1，0)或D(，0)．