Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，3），頂點為D（1，4），對稱軸為DE．

（1）拋物線的解析式是；
（2）如圖（2），點P是AD上一個動點，P′是P關于DE的對稱點，連接PE，過P′作P′F∥PE交x軸于F．設S四邊形EPP′F=y，EF=x，求y關于x的函數關系式，并求y的最大值；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點Q，使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出Q的坐標；若不存在．請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣x2+2x+3
（2）

解：令PP′交DE于G，

∵PP′∥AF，PE∥FP′，

∴四邊形FEP′P是平行四邊形，

∴PP′=EF，

∴△DPP′∽△DAB，

∴ ，

又∵A（﹣1，0）、B（3，0）、D（1，4），EF=x，

∴AB=4，DE=4，PP′=x，

∴

∴GE=4﹣x，

又∵S四邊形EPP'F=EFGE，

∴y=x（4﹣x）

∴y=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，x=2時，y的最大值是4

（3）

解：假設存在滿足條件的點Q（x，y），

作OH⊥BC于H，

∵Rt△BCQ中BC是直角邊，

∴Rt△BCQ的另一直角邊與OH平行．

又∵OC=OB，CO⊥OB，OB=3，OC=3，

∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線可以由直線OH向上或向右平移3個單位得到（如圖）．

由已知得直線OH的解析式是y=x，

∴Rt△BCQ的另一直角邊所在的直線解析式是：y=x+3或 y=x﹣3

點Q為直線y=x+3和拋物線交點，

則 ，

解得：x=1，

∴y=4；

②點Q為直線y=x﹣3和拋物線交點，

則 ，

解得：x=﹣2，

∴y=﹣5，

∴存在滿足條件的點Q的坐標是：（1，4）和（﹣2，﹣5）

【解析】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點C，
則c=3，
∵拋物線經過A，B兩點，∴
解得：a=﹣1，b=2，
所以答案是 y=﹣x2+2x+3；
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．