Question

【題目】如圖，點A是圓0直徑BD延長線上的一點，點C在圓0上，AC=BC，AD=CD．

（1）求證：AC是圓0的切線；
（2）若⊙0的半徑為2，求 ABC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OC ．

∵AC=BC ， AD=CD ， OB=OC ，
∴∠A=∠B=∠1=∠2．
∵∠ACO=∠DCO+∠2，
∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD .
又∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACO=90°，
又點C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切線 。
（2）解：由題意可得△DCO是等腰三角形．
∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，
∴∠CDO=∠DOC ， 即△DCO是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2．
在Rt△BCD中，BC= ．
又AC=BC ， ∴AC= ．
如圖，作CE⊥AB于點E ．
在Rt△BEC中，∠B=30°，
∴CE= BC= ，
∴S△ABC= ABCE= ×6× = 。
【解析】（1）連接OC ． 根據等邊對等角得出∠A=∠B=∠1=∠2．根據角的和差及等量代換得出∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD .根據圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角得出∠BCD=90°，從而得出∠ACO=90°，又點C在⊙O上，根據切線的判定定理得出AC是⊙O的切線；
（2）根據三角形的外角定理得出∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，又∠A=∠B=∠1=∠2．從而得出∠CDO=∠DOC，又△DCO是等腰三角形，從而得出△DCO是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，然后由勾股定理得出BC的長度，又AC=BC，從而得出AC的長度，作CE⊥AB于點E ． 根據含30°的直角三角形的邊之間的關系得出CE的長，進而根據三角形的面積公式計算出結果。