Question

【題目】閱讀材料：如圖1，若點P是⊙O外的一點，線段PO交⊙O于點A，則PA長是點P與⊙O上各點之間的最短距離．

證明：延長PO交⊙O于點B，顯然PB＞PA．

如圖2，在⊙O上任取一點C（與點A，B不重合），連結PC，OC．

∵PO＜PC+OC，

且PO=PA+OA，OA=OC，

∴PA＜PC

∴PA 長是點P與⊙O上各點之間的最短距離．

由此可以得到真命題：圓外一點與圓上各點之間的最短距離是這點到圓心的距離與半徑的差．請用上述真命題解決下列問題．

（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是 上的一個動點，連接AP，則AP長的最小值是　 　．

（2）如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，點N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，①求線段A’M的長度； ②求線段A′C長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①1②

【解析】試題分析:（1）由圓外一點與圓上各點之間的最短距離是這點到圓心的距離與半徑的差可得結論；

（2）①利用翻折的性質和菱形的性質可得出結論；

②利用①的結論易得點A′在以點M為圓心，1為半徑的圓上，再利用菱形的性質和銳角三角函數得DH，MH，易得CH，由勾股定理得CM，求得A′C．

解:（1）連接AO與⊙O相交于點P，如圖①，由已知定理可知，

此時AP最短，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2，BC為直徑，

∴PO=CO=1，

∴AO===，

∴AP=﹣1，

故答案為：﹣1；

（2）①∵將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，由翻折的性質可得：

A′M=AM，

∵M是AD邊的中點，四邊形ABCD為菱形，邊長為2，

∴AM=1，

∴A′M=1；

②由①知，點A′在以點M為圓心，1為半徑的圓上，

連接CM交圓M于點A′，過點M向CD的延長線作垂線，垂足為點H，如圖②，

∵∠A=60°，四邊形ABCD為菱形，

∴∠HDM=60°，

在Rt△MHD中，

DH=DMcos∠HDM=，

MH=DMsin∠HDM=，

∴CH=CD+DH=2+=，

在Rt△CHM中，

CM===，

∴A′C=﹣1．