Question

【題目】如圖所示，點坐標為，點坐標為，動點從點開始沿以每秒個單位長度的速度向點移動，動點從點開始沿以每秒個單位長度的速度向點移動．如果、分別從、同時出發，用（秒）表示移動的時間，那么：

當為何值時，四邊形是梯形，此時梯形的面積是多少？

當為何值時，以點、、為頂點的三角形與相似？

若設四邊形的面積為，試寫出與的函數關系式，并求出取何值時，四邊形的面積最小？

在軸上是否存在點，使點、在移動過程中，以、、、為頂點的四邊形的面積是一個常數？若存在請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=3,27；（2）當秒或秒時，以點、、為頂點的三角形與相似；（3）存在，當秒時，四邊形的面積最小；（4）存在，點的坐標為)，理由見解析

【解析】

（1）當PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，根據平行線分線段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面積=△OAB的面積﹣△PBQ的面積求面積；

（2）討論：當∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；當∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，即可得到t；

（3）利用y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×（6﹣t），然后配成頂點式即可得到答案；

（4）利用以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積=梯形BQEO的面積﹣△OPE的面積，用t與m表示出來為×6×（m+2t）﹣×m×t，變形得到（6﹣m）t+3m，當t的系數為0時即可得到m的值．

OP=t，PB=6﹣t，BQ=2t．

（1）當PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，∴BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，∴t=3，∴PB=3，BQ=6，∴梯形OPQA的面積=△OAB的面積﹣△PBQ的面積=×6×12﹣×3×6=27，所以當t=3時，四邊形OPQA是梯形，此時梯形OPQA的面積為27；

（2）當∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，由（1）得t=3，當∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，∴BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，∴t=，所以當t=秒或3秒時，以點P、Q、B為頂點的三角形與△AOB相似；

（3）存在．

y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×（6﹣t）=t2﹣6t+36=（t﹣3）2+27．

∵a=1＞0，∴t=3時，y有最小值27，所以當t=3秒時，四邊形OPQA的面積最小；

（4）存在．

當E在y軸的負半軸上時，以B、Q、E、P為頂點不能形成四邊形，則點E在y軸的正半軸上時，設E（0，m），所以以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積=梯形BQEO的面積﹣△OPE的面積=×6×（m+2t）﹣×m×t=（6﹣m）t+3m

當以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積是一個常數，則6﹣m=0，解得：m=12，所以點E的坐標為（0，12）．