Question

【題目】如圖，在⊙O上依次有A、B、C三點，BO的延長線交⊙O于E，，過點C作CD∥AB交BE的延長線于D，連AD交⊙O于點F．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）連接OA、OF．

①當∠ABC＝　 　°時，點F為 的中點；

②若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，則⊙O的半徑是　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①72；②3．

【解析】

（1）先根據圓的性質得：∠CBD＝∠ABD，由平行線的性質得：∠ABD＝∠CDB，根據直徑和等式的性質得 ，則AB＝BC，即可得出結論；

（2）①由題意得出∠AOF＝∠EOF＝m，證出∠ABE＝∠ADE＝m，則∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m，由三角形內角和定理得出方程，解方程即可；

②先設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，根據∠ABC+∠BAD＝180°，列方程求出x的值，證△AOF是等邊三角形，得出OF＝AF＝3即可．

（1）證明：∵ ，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵CD∥AB，

∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠CBD＝∠CDB，

∴CB＝CD，

∵BE是⊙O的直徑，

∴，

∴AB＝BC＝CD，

∵CD∥AB，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：如圖所示：

①F為的中點，則∠AOF＝∠EOF，

設∠AOF＝∠EOF＝m，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADE，

∵∠AOD＝2∠ABE，

∴∠ABE＝∠ADE＝m，

∴∠OAF＝∠OFA＝∠EOF+∠ADE＝2m，

∵∠AOF+∠OAF+∠OFA＝180°，

∴2m+2m+m＝180°，

∴m＝36°，

∴∠ABE＝72°，

即∠ABC＝72°時，點F為的中點，

故答案為：72；

②∵∠AOF＝3∠FOE，

設∠FOE＝x，則∠AOF＝3x，

∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，

∵OA＝OF，

∴∠OAF＝∠OFA＝ (180°﹣3x)，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝2x，

∴∠ABC＝4x，

∵BC∥AD，

∴∠ABC+∠BAD＝180°，

∴4x+2x+ (180°﹣3x)＝180°，

解得：x＝20°，

∴∠AOF＝3x＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等邊三角形，

∴OF＝AF＝3，

即⊙O的半徑是3；

故答案為：3．

【點晴】

本題考查平行四邊形和菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，圓周角定理等知識，解題的關鍵是學會設未知數，列方程求角的度數，證明三角形是等邊三角形是解題的突破點，是屬于中考�？碱}型．