Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，且其對(duì)稱(chēng)軸為其中點(diǎn)，點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）①如圖（1），點(diǎn)是直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積取最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖（2），連接在拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)滿(mǎn)足，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①D，②或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)，點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）①先求出直線(xiàn)BC的解析式，當(dāng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)△BCD取最大值，故四邊形DCAB有最大值，求出b的值代入原式即可得到答案；
②根據(jù)題干條件拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)滿(mǎn)足，通過(guò)利用待定系數(shù)法利用方程組求出直線(xiàn)BE的解析式，可得答案．

解：（1）由題意得：

解得

故拋物線(xiàn)的解析式是.

圖（1） 圖（2）

（2）①設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+.

∵直線(xiàn)BC過(guò)點(diǎn)B（3，0），

∴0=3k+

則k=，

故直線(xiàn)BC解析式為y=x+.

設(shè)直線(xiàn)m解析式為，且直線(xiàn)m∥直線(xiàn)BC

當(dāng)直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最遠(yuǎn)，此時(shí)△BCD取最大值，故四邊形DCAB有最大值.

令，

當(dāng)時(shí)

直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)有唯一交點(diǎn)

解之得：

代入原式可求得：

∴D

圖（3）

過(guò)D作DP∥y軸交CB于點(diǎn)P，△DCB面積=△DPC面積+△DPB面積，

∴D

②存在，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為或

解題提示：如圖3

符合條件的直線(xiàn)有兩條： CM1和CM2（分別在CB的上方和下方）

∵在Rt△ACO中，∠ACO=30°，在Rt△COB中，∠CBO=30°，

∴∠BCM1=∠BCM2=15°

∵△BCE中，∠BCE=∠BEC2=15°

∴BC=BE=

則E（，0）

設(shè)直線(xiàn)CE解析式為：

∴

解之得：k=

∴直線(xiàn)CE解析式為：

∴

解得：x1=0，x2=2－1

∵ 在Rt△OCF中，∠CBO=30°，∠BCF=15°

∴在Rt△COF中， ∠CFO=45°

∴OC=OF=

∴F（，0）

∴直線(xiàn)CF的解析式為

∴

解之得：（舍去），

即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或