Question

如圖，直線y＝x＋3與坐標軸分別交于A，B兩點，拋物線y＝ax²＋bx－3a經過點A，B，頂點為C，連接CB并延長交x軸于點E，點D與點B關于拋物線的對稱軸MN對稱.

（1）求拋物線的解析式及頂點C的坐標；
（2）求證：四邊形ABCD是直角梯形.

Answer 1

（1）y＝－x²－2x＋3  （－1，4）  （2）見解析

（1）解：∵y＝x＋3與坐標軸分別交與A，B兩點，∴A點坐標（－3，0）、B點坐標（0，3）.
∵拋物線y＝ax²＋bx－3a經過A，B兩點，
∴
解得
∴拋物線解析式為：y＝－x²－2x＋3.
∵y＝－x²－2x＋3＝－（x＋1）²＋4，
∴頂點C的坐標為（－1，4）.
（2）證明：∵B，D關于MN對稱，C（－1，4），B（0，3），
∴D（－2，3）.∵B（0，3），A（－3，0），∴OA＝OB.
又∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
∵B，D關于MN對稱，∴BD⊥MN.
又∵MN⊥x軸，∴BD∥x軸.
∴∠DBA＝∠BAO＝45°.
∴∠DBO＝∠DBA＋∠ABO＝45°＋45°＝90°.
設直線BC的解析式為y＝kx＋b，
把B（0，3），C（－1，4）代入得，
解得
∴y＝－x＋3.
當y＝0時，－x＋3＝0，x＝3，∴E（3，0）.
∴OB＝OE，又∵∠BOE＝90°，
∴∠OEB＝∠OBE＝∠BAO＝45°.
∴∠ABE＝180°－∠BAE－∠BEA＝90°.
∴∠ABC＝180°－∠ABE＝90°.
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝45°.
∵CM⊥BD，∴∠MCB＝45°.
∵B，D關于MN對稱，
∴∠CDM＝∠CBD＝45°，CD∥AB.
又∵AD與BC不平行，∴四邊形ABCD是梯形.
∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是直角梯形.