Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且AC平分∠BAD．

（1）求證：直線MN是⊙O的切線；

（2）若CD=4，AC=5，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）

【解析】試題分析：（1）直接利用角平分線的性質結合等腰三角形的性質得出OC⊥MN，進而得出答案；

（2）利用相似三角形的判定與性質得出AB的長．

試題解析：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠DAC，

∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD．∵AD⊥MN，∴OC⊥MN．

∵OC為半徑，∴MN是⊙O切線．

（2）∵∠ADC=90°，AC=5，DC=4，∴AD=3，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB，又∵∠CAB=∠DAC，

∴△ADC∽△ACB，∴=，∴=，解得：AB=，

即⊙O的直徑長為．